introduction à la logique élémentaire

LECON 1 : INTRODUCTION

Définition : la logique est la science qui vise à déterminer les règles que doit suivre un esprit humain pour atteindre la vérité.

La logique a pour objet le raisonnement.

Elle se divise en 2 parties :
-la logique générale ou formelle concerne la manière dont les objets doivent être appliqués.
-la méthodologie cherche a déterminer comment doivent se combiner les différents mécanismes logiques.

Donc logique = ce qui doit être, alors que psychologie= ce qui est.

La logique est une science.
C’est une science utile. Il existe une logique naturelle, innée, chez l’homme. Mais on peut raisonner faux, d’où l’importance de mettre en place des critères d’atteinte de la vérité.
La logique est un art : l’art de bien penser.

LECON 2 : VERITE ET CERTITUDES


La vérité est la conformité de l’esprit aux choses.

Quand l’esprit est adapté aux choses, on dit qu’il possède la vérité.
C’est la théorie des correspondances.

La certitude est l’état de j’esprit qui sait qu’il possède la vérité.

Elle s’oppose donc au doute et non à l’ignorance.
Il y a 3 sortes de certitude :
-la certitude mathématiques : elle résulte de la démonstration, d’un raisonnement.
Le critère de vérité est l’identité.
-la certitude physique : « croire ce que l’on voit »
-la certitude morale, par exemple la croyance religieuse. Il est impossible de savoir si ces jugements sont vrais ou faux, parce ce qu’il y a l’intervention d’éléments psychologiques non logiques.

LECON 3 : CADRAGE HISTORIQUE


Platon : La logique est la philosophie.

Aristote : La logique reçoit un statut autonome, mais reste triviale, syllogistique. Elle est définie dans les 1ers et 2nd analytiques et les topiques.

Boole : Il formalise la logique d’Aristote avec des nombres, c’est une algébrisation. C’est de la logistique (logique mathématique et symbolique).Il publie en 1850 les lois de la pensée.

Frege : Il appartient au courant antipsychologique, c’est-à-dire qu’il admet une existence autonome des objets mathématiques. Il publie en 1879 l’idéographie et en 1884 les fondements de l’arithmétique. Il veut axiomatiser l’arithmétique.

Peano : Axiomatisation de Peano : il crée un ensemble de règles pour construire et les opérations qu’on y fait. Il fait une notation + commode pour axiomatiser l’arithmétique.

Russell : Il veut axiomatiser toutes les mathématiques. Il publie principia mathematica.

Cantor : la théorie des ensembles.

Godel : Il propose une théorie qui limite les pouvoirs de la formalisation mathématique. Il s’intéresse au raisonnement des mathématiciens.

LECON 4 : LA TRADITION ARISTOTELICIENNE


1. Le travail d’Aristote

Ce travail d’Aristote est rassemblé dans l’Organon (=instrument de la pensée), divisé en 6 parties : les catégories, de l’interprétation, les 1ers et 2nd analytiques, les topiques, les réfutations sophistiques.

Aristote étudie a la fois la conception, le jugement, et le raisonnement a travers le langage.

2. L’expression de la vérité

Toute vérité s’exprime au moyen d’un jugement, formulé par une proposition.
Un jugement est un rapport entre 2 idées.
L’idée représente un objet déterminé, et signifié par un ou plusieurs termes, qui peuvent être particuliers ou généraux.
Toute proposition est constitué de 3 termes : 1 sujet, la copule (est), et 1 prédicat.

Remarque : le verbe être admet seulement une possibilité, et non une existence objective. (Ex : les licornes sont belles). Il peut aussi signifier une identité. (Ex : 2+2 est 4).

Une proposition est un énoncé particulier, en ce qu’il peut être jugé V ou F. (ex : « mange ta soupe » n’est ni V ni F, ce n’est pas un proposition).

3. Les différents types de proposition, et leurs relations

affirmative négative
universelle A E
particulière I O

Exemple :
A : tous les hommes sont mortels
E : aucun homme n’est mortel
I : un homme est mortel
O : un homme est immortel



A contraires E

subalterne subalterne

I subcontraire O

A contradictoire O
I contradictoire E

Contraires : 2 propositions contraires ne peuvent pas être toutes les 2 vraies.
Contradictoires : lorsque 2 propositions sont contradictoires, l’une est V et l’autre F.
Subcontraires : si l’une est vrai, l’autre est vrai aussi.

4. Les opérations sur les propositions

- L’évaluation : évaluer le valeur de vérité (V ou F en logique bivalente).
Ex : p=le ciel est bleu V

- La négation : inverser la valeur de vérité.
Ex : non p=le ciel n’est pas bleu F

- La conversion : inter changer prédicat / sujet.

LECON 5 : LES SYLLOGISMES

La théorie du syllogisme est mise en place par Aristote, et exposée dans les 1er et 2nd analytiques de l’Organon.

1. Syllogisme, prémisses et termes

Un syllogisme est une inférence construite à partie de 2 propositions de départ, appelées prémisses.

Ex : tous les A sont B
Tous les B sont C
Donc tous les A sont C

A est le petit terme (c’est-à-dire le terme de + petite extension) : il définit la prémisse mineure
B est le moyen terme : il n’apparaît jamais dans la conclusion.
C est le grand terme : il définit la prémisse majeure.

2. Les 4 types de syllogismes

Aristote définit 4 types de syllogismes. Pour chaque type de syllogisme, il remplace les termes par une proposition (AEIO). Sur toutes les combinaisons possibles, seules quelques unes donnent des syllogismes valides. On les appelle des modes.

-figure 1 : le moyen terme est sujet dans la majeure et prédicat dans la mineure.
Mode BARBARA
Mode DARII
Mode CELARENT
Mode FERIO
-figure 2 : le moyen terme est prédicat dans la majeure et dans la mineure.
Mode CERARE
Mode FESTINO
Mode CAMESTRES
Mode BAROCO
-figure 3 : le moyen terme est sujet dans la majeure et dans la mineure.
Mode DARAPTI
Mode FELAPTON
Mode DISANIS
Mode DATISI
Mode BOLARDO
Mode FERISON
-figure 4 : le moyen terme est prédicat dans la majeure et sujet dans la mineure.
Mode BAMALIP
Mode FESAPO
Mode FRESISON
Mode DIMARIS
Mode CAMENES

LECON 6 : THEORIE DES FONCTIONS DE VERITE


Ce n’est plus la logique d’Aristote…

1. Deux types de proposition

Atomiques vs moléculaires.
La théorie des fonctions de vérité énonce les règles à suivre pour combiner des propositions simples ou moléculaires.

2. Formalisation de la proposition : variable et constante

Pour formaliser une phrase, on utilise 2 types de signes logiques : des lettres (variables propositionnelles qui symbolisent une proposition), et des signes de connexion entre ces lettres. Ce sont des connecteurs logiques. Il en existe 6 :

-la conjonction (ET) notée ^
-la disjonction inclusive (OU) notée v
-la disjonction exclusive notée w
-la négation notée NON, ou
-le conditionnel noté →
-le biconditionnel noté ↔

3. Signification des connecteurs

Dire qu’une proposition est V signifie qu’elle n’est pas en contradiction avec les axiomes de la théorie dans laquelle on travaille.

-Une conjonction est V ssi toutes les variables qui la composent sont V.
-Une disjonction inclusive est V ssi au moins une des variables est V.
-Une disjonction exclusive est V ssi au moins une des variables est V, et sauf si toutes les variables sont V.
-Le conditionnel est V dans tous les cas sauf lorsque p V et q F.
-Le biconditionnel est V ssi les variables sont de même signe.
-La négation est V lorsque la variable est F.

Table de vérité :

p q (p ^ q) (p V q) (p w q) p → q p ↔ q
V V V V F V V
V F F V V F F
F V F V V V F
F F F F F V V
Remarque : (p↔q) ≡ (p→q) (q→p)

4. La hiérarchie des connecteurs

Le biconditionnel
↑
Le conditionnel
↑
La disjonction
↑
La conjonction

5. La portée des connecteurs

Ce sont les différentes parties (propositions) qui entrent en jeu lorsque l’on traite un connecteur.

Ex : quelle est la portée de la disjonction dans l’expression logique :
p ^ q v r
On utilise la hiérarchie des connecteurs : (p ^ q) v r
La portée de la disjonction est donc p, q et r.

6. Théorèmes

1- théorème du tiers exclu : p v nonp
2- th de non contradiction : non(p ^ nonp)
3- th d’idempotence de la conjonction : p ^ p ≡ p
4- th d’idempotence de la disjonction : p v p ≡ p
5- théorème de double négation : non(nonp) ≡ p
6- distributivité du « et » sur le « ou » :
p ^ (qvr) ≡ (p ^ q) v (p ^ r)
7- distributivité du « ou » sur le « et » :
p v (q ^ r) ≡ (pvq) ^ (pvr)
8- lois de Morgan :
non(p ^ q) ≡ nonp v nonq
non(p v q) ≡ nonp ^ nonq
9- associativité :
(p ^ q) ^ r ≡ p ^ (q ^ r)
(pvq) v r ≡ p v (qvr)
10- commutativité :
pvq ≡ qvp
p ^ q ≡ q ^ p
11- absorption :
p ^ (pvq) ≡ p
p v (p ^ q) ≡ p
12- éléments neutres :
p v faux ≡ p
p ^ vrai ≡ p

LECON 7 : FORMES NORMALES OU FORMES CANONIQUES


1. La forme normale disjonctive

La forme normale disjonctive d’un énoncé est un énoncé équivalent composé uniquement de disjonctions de conjonctions, où chaque conjonction présente l’occurrence de toutes les variables, soit sous forme positive soit sous forme négative.

Méthode d’élaboration :
- on fabrique la table de vérité de l’expression
- on identifie les lignes pour lesquelles elle est vraie
- on en déduit la forme normale disjonctive

Ex : p (qvr)

p q r qvr p ^ (qvr)
V V V V V
V V F V V
V F V V V
V F F F F
F V V V F
F V F V F
F F V V F
F F F F F

F.N.D : (p ^ q ^ r) v (p ^ q ^ r) v (p ^ q ^ r)

2. Forme normale conjonctive

La forme normale conjonctive d’un énoncé est un énoncé équivalent composé uniquement de conjonctions de disjonctions, où chaque disjonction présente l’occurrence de toutes les variables, soit sous forme positive soit sous forme négative.

Méthode d’élaboration pour une expression A
- on fabrique la table de vérité de l’expression A
- on identifie les lignes pour lesquelles elle est fausse
- on en déduit la F.N.D de Ā
- on utilise les lois de Morgan pour nier la F.N.D de Ā, et en déduire la F.N.C de A.

Ex : p ^ q

p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F

LECON 8 : LA METHODE DES ARBRES

 Principe :

C’est une méthode logique qui permet de tester la vérité d’une expression, par un raisonnement pas l’absurde : pour montrer qu’une expression A est une tautologie, on montre que Ā est une antilogie.
Rappels :
- Une tautologie est une expression valide, cad une expression qui est V quelque soient les valeurs de vérité des lettres qui la composent.
- Une antilogie est une expression non consistante, cad qui n’est pas au moins une fois V.

 Méthode :

1. On exprime Ā et on simplifie l’expression
2. On remplace chaque connecteur par sa représentation graphique
3. On évalue chaque branche en partant de la feuille : on remonte le long de la branche, et si on rencontre une contradiction, on ferme la branche.
 Si toutes les branches sont fermées, alors A est une tautologie

LECON 9 : NOTION DE PREDICAT

Ex : x est un psychologue

x est le sujet ou l’argument
psychologue est le prédicat

Prédiquer consiste à évaluer la valeur de vérité de l’expression en fonction de x, la variable.