petite introduction vers la mathématique

Je donne ici mon premier cours simple d'introduction aux mathématiques, je m'oriente doucement vers l'application politique de la mathématique.
j'ai donné ce cours à un jeune collègien, cela explique la simplicité du langage.
Vous pouvez le télécharger à cette addresse au format pdf

1-Une des définitions de la mathématique:
La mathématique est une méthode permettant de définir une collection d'objets et d'en étudier les propriétés au moyen d'une logique choisie ou
préalablement définie.

Il faut bien comprendre que la mathématique ne se réduit pas à faire des calculs ou savoir bien dessiner des figures géometriques.

Non, le champs d'action des mathématiques est bien plus vaste, il s'attaque au mode de fonctionement du cerveau humain, et même au
delà.

Tout est modélisable par un objet mathématique, car dès que vous definissez un objet et que vous cherchez à en comprendre le fonctionnement, vous faites plus ou moins des mathématiques.
Les mathématiques définissent tout, même ce que le cerveau humain
ne peut pas comprendre.

exemple: Un homme affirme qu'il ment tout le temps
question: Est-ce un menteur?
réponse: ce problème n'a aucune réponse.

En effet supposons que la réponse soit oui, alors cet homme ment tout le temps, et donc, lorsqu'il dit qu'il ment, alors il ment encore, donc ce n'est pas un menteur.

Supposons maintenant que la réponse soit non, alors il ne ment pas lorsqu'il dit qu'il ment tout le temps, donc il ne ment jamais.
Ce genre de problème se nomme paradoxe. Un paradoxe est une proposition à laquelle on ne peut donner de valeur de vérité, c'est à dire dont on ne peut dire si elle est vraie ou fausse.

Deux autres exemples:
-Laquelle de ces deux phrases est vraie:
La phrase du dessous est fausse
La phrase du dessus est vraie


-Dans une bibliothèque, il existe deux types de catalogues. Ceux qui se mentionnent eux-mêmes et ceux qui ne se mentionnent pas. Un bibliothécaire doit dresser le livre de tous les livres qui ne se mentionnent pas eux-mêmes. Arrivé au terme de son travail, notre bibliothécaire se demande s'il convient ou non de mentionner le livre qu'il est précisément en train de rédiger. A ce moment, il est frappé de perplexité. Si ne le mentionne pas, ce livre sera un livre qui ne se mentionne pas et qui devra dès lors figurer dans la liste des livres ne se mentionnant pas eux-mêmes. D'un autre côté, s'il le mentionne, ce livre deviendra un livre qui se mentionne et qui ne doit donc pas figurer dans ce livre, puisque
celui-ci est le livre des livres qui ne se mentionnent pas.
Etranges problèmes non?

Il ne faut pas voir les mathématiques comme un domaine fermé soumis à des règles contraignantes. En fait, les mathématiques sont un espace de
liberté, un espace dans lequel tout est permis dès l'instant où tout est définie, et que l'on ne contredit pas les définitions.
Ainsi on peut avoir des théorèmes comme le théorème de Gödel qui dit qu'on peut, dans certains cas, démontrer une chose et son contraire (inconsistance) ou qu'il existe des vérités mathématiques qu'il est impossible de démontrer (incomplétude).
Cette espace de liberté que sont les mathématiques donne naissance
à des réalités, des bizarreries physiques, psychologiques, biologiques ou technologiques.

2-Quelques applications:
En physique:
Je donnerais eventuellement plus tard une démonstration de la possibilités d'effectuer des voyages dans le temps grâce à une généralisation du théorème de Pythagore (et à condition de s'en donner les moyens). Ce résultat vient de la théorie de la relativité restreinte d'Einstein, le résultat est connu depuis 1905.

En informatique:
A haut niveau, il n'y a pas vraiment de distinction entre la mathématique et l'informatique que l'on nomme informatique théorique. Même l'informatique pratique, l'informatique de tout les jours repose sur les mathématiques (plus exactement sur la logique). Le but premier d'un ordinateur est d'imiter le cerveau humain afin d'aider à la résolution des problèmes "résolubles".
On s'est donc inspiré du cerveau humain pour les créer. Dans un modèle simple d'architechture des machine, la loi d'électricité $U=RI$ permet de modéliser des objets, que l'on appelle fonction logique. Ces objets peuvent, soit laisser passer du courant ce qui interprété par la machine comme un 1, c'est à dire un VRAI, soit ne laisse pas passer de courant, ce qui est interprété par la machine comme un 0, c'est à dire un FAUX.
Avec ces fonctions logiques, tout est réalisable!

En économie:
Toute l'économie, tous les echanges, tout ce qui se passe à la bourse, est evalué par ce qu'on appelle les mathématiques financières (économétrie). Ce genre de mathématique tient compte de plusieurs centaines de paramètres qu'elle transforme en objets mathématiques, et qui peuvent modeliser toute la société, les deplacements humains, les risques...

En biologie:
La biologie est un nouveau champs d'action des mathématiques. Une
grande partie des caracteristiques de l'être humain (Allure physique, couleur des yeux...) est codée dans l'ADN présent au coeur de toutes les cellules, en mettant bout à bout toutes les molecules d'adn de toutes les cellules de tout l'organisme, cela donnerait 300 fois la distance terre-lune, il est donc extrememnt long de décoder l'adn humain. Et même si ce code est assez simple (quatre lettres correspondants à quatre molécules) il est extremement long de le decoder sans faire appel à des règles mathématiques. On se sert également des mathématiques pour modéliser des problèmes de survie d'une espèce ou de surpopulation.

En espionage:
On se sert principalement des arithmeticiens, qui sont les plus capables de réussir à décoder un message secret. En effet, les codes les plus puissants repose sur la décomposition des entiers en facteurs premiers, ils servent pour les cartes bancaires par exemple.

Il ne faut surtout pas croire que le domaine des mathématiques se restreigne aux sciences. En effet, la musique est pour ainsi dire l'expression vibrante des mathématiques. Dans une biographie de Pythagore, que je ferais peut être plus tard, on peut apprendre que ce grand mathématicien a inventé les partitions musicales en se basant sur l'arithmetique des nombres rationnels.
On peut noter également l'existence de peintres comme Maurits Cornelis Escher qui se sont servis pour leurs tableaux d'objets mathématiques très complexes.

3-le secret des mathematiques
Pour faire des mathématiques proprement, on commence, par définir un langage, celui ci doit, comme tout langage, avoir des mots et des règles qui les régissent, c'est ce que l'on nomme la grammaire. Toutes ces règles de grammaire sont inventées et permettent de construire une logique. Très simplement on peut définir la logique comme l'ensemble des règles que devront subir les objets que l'on construira grâce au langage que nous avons défini.
Une logique considère une liste de propositions, et lui applique ses règles. Cela construit alors de nouvelles propositions que l'on nomme théorèmes. Cette construction s'appelle une démonstration. On peut appliquer les règles logiques sur les théorèmes qui permettent alors de construire de nouveaux théorèmes, etc...
On voit ainsi que pour démontrer un théorème, on a besoin de combiner, grâce à une logique, plusieurs théorèmes que l'on connait déjà.

question:Comment a t-on démontré le premier théorème? Nous n'avions aucun théorème pour le démontrer!
Réponse: Toute théorie repose sur un nombre finis de propositions
que l'on admet sans demonstration. Ces propositions s'appellent
des axiomes. Euclide fut le premier à poser des axiomes pour
construire proprement la géometrie, par exemple celui disant que
deux points sont toujours alignés.

Par définition, le point n'a aucune existence....

Alors , l'alignement de 2 points qui déterminerait l'existence d'un référent supérieur contenant au moins un point supplémentaire,

Cordialement

fourmi

psspsss je vais aller relire Euclide!

Un point, s'il venait à exister, serait représenté par un point qui, vu d'une certaine manière, serait un ensemble de points .... une tache....

Le point se définit comme étant l'intersection de deux droites qui elles se définissent comme étant une succession de points alignés....

http://fr.wikipedia.org/wiki/Point_(g%C3%A9om%C3%A9trie)

Citation :

En géométrie euclidienne élémentaire [modifier]

Le point, selon Euclide, est ce qui n'a aucune partie (on dirait aujourd'hui ce qui n'a aucune dimension ou aucune épaisseur.) Toutes les figures du plan et de l'espace sont constituées d'ensemble de points.

Le point étant considéré comme l'unique élément commun à deux droites sécantes, on représente habituellement le point par une croix (intersection de deux petits segments) plutôt que par un point (signe).

Lorsque le plan ou l'espace est muni d'un repère cartésien, on peut positionner tout point par rapport aux axes de ce repère par ses coordonnées cartésiennes ; le point est alors associé à un couple de réels en dimension 2 ou un triplet de réels en dimension 3. Il existe cependant d'autres manières de repérer les points (coordonnées polaires en dimension deux, coordonnées sphériques ou coordonnées cylindriques en dimension 3)

Elémentaire, mes chers Watson(s)

Cordialement

fourmi

Nemesis a écrit:

Cela m'étonnerait qu'il ait écrit que les points n'existent pas...

A mon sens, un point est l'élément d'un ensemble ("géométrisable"), par contre le mot ensemble n'a pas de définition car la théorie du langage fait partie des mathématiques et un langage est définie comme un ensemble de mots respectant une grammaire. Le serpent se mord la queue.
En mathématique tout est ensemble. Par exemple 0 est l'ensemble vide 1 est l'ensemble contenant uniquement 0, 2 l'ensemble contenant 0 et 1. Une relation est une ensemble de couple, par exemple = est l'ensemble des couples de la forme (x,x)...
Une droite est l'ensemble des points x respectants l'equation ax+b=0.

Alors si tu me donnes la définition d'un ensemble sans passer par la théorie des catégories ou un méta-langage à la mords moi le noeud, tu mérites la médailles Fields!!!!
j'attend. En tout cas, ce que je te dis, je ne l'invente pas, je l'ai appris dans le tome 1 d'analyse de Laurent Schwartz, je t'invite à bien l'étudier avant de me contredire.
Réflechis, comment veux tu tout définir? Pour écrire une définition, il faut des mots qui doivent êtres préalablement définis. Comment définir le premier mot?

Nemesis a écrit:

Un ensemble est une collection d’objets mathématiques appelés éléments.

Manuel de base

c'est justement ça le problème, c'est un manuel de base. Donne moi donc la définition d'une collection! Ta définition utilise le français, toute définition mathématique doit pouvoir être écrit dans un langage strictement mathématique, je ne vois pas comment tu pourrais définir un ensemble alors que tout objet mathématique autre que connecteur est un ensemble. Je ferais un petit cours sur les ensemble cette semaine.